حساب المثـلثـات
المثلث مكون من 6 عناصر 3 زوايا ، 3 أضلاع وأن إجراء العمليات على هذه العناصر الست قادنا للقول "علم حساب المثلثات" أو حساب المثلثات وكافة القوانين المذكورة هنا للمثلث الذي مجموع زواياه 180 درجة حيث يوجد مثلث كروي فيه مجموع الزوايا أكبر أو أقل من 180ه.
والمثلث المبين بالرسم أ ب حـ أضلاعه الثلاثة أ¯ ، ب¯ ، حـ¯ التي تقابل الزوايا أ ، ب ، حـ على الترتيب. والزاوية تقاس بالتقدير الستيني (الدرجات) والوارد من تقسيم الدرجة إلى 60 دقيقة (60َ ) والدقيقة 60 ثانية (60 ً ) على أساس الزاوية القائمة 90ه بتقسيمها لأقسام متساوية كل منها يسمى درجة ستينية (1ه) في حين التقدير الدائري للزاوية هو النسبة بين طول قوس دائري مركزه رأس الزاوية ومحصور بين ضلعيها وبين نصف القطر وعناصر الزاوية الأساسية ثلاثة هي وضعها الأصلي ووضعها النهائي واتجاه الحركة على أساس دوران مستقيم في مستو حول نقطة من نقاطه وسنتعامل مع الزاوية ذات القياس الرئيسي أي أقل من 360ه والتي تكبرها نطرح منها 360ه أو مضاعفاتها وحال الزاوية سالبة نضيف 360ه أو مضاعفاتها ويفضل إسناد الزوايا إلى 180ه عند حساب النسب المثلثية لها مع مراعاة الإشارة والعلاقات والقوانين التالية صحيحة:
 | المقابل أ د ظل الزاوية ب: طاب = ـــــــــــــــ أي طا ب = ــــــــ المجاور ب د |
المقابل أ د جيب الزاوية ب: حاب = ـــــــــــــــ أي حاب = ـــــــــ الوتــــر أ ب | |
المجاور ب د جيب تمام الزاوية ب: حتاب=ـــــــــــــــ أي حتا ب= ـــــــ الوتــــر أ ب | |
| أ + ب + حـ = 180ه | المجاور ب د ظل تمام الزاوية ب: طتاب =ــــــــــــــ أي طتا ب= ـــــــ المقابل أ د |
| أ ، ب زاويتان متتامتان ↔ أ + ب = 90ه | الوتــــر أ ب قاطع تمام الزاوية ب: قتاب =ـــــــــــــ أي قتا ب= ــــــ المقابل أ د |
إذا كان: أ + ب = 90ه فــــــإن: حاأ = حتاب ، طاأ= طتاب ، قاأ = قتاب | الوتــــر أ ب قاطع الزاوية ب: قاب = ـــــــــــــــ أي قاب = ـــــــــ المجاور ب د |
| للتحويل من التقدير الدائري للستيني والعكس نستخدم هـد س˚ 22 ــــــــــ = ــــــــــــ ( هـد دائري ، س˚ ستيني )، ط = ــــــ ط 180ه 7 | النسبة × مقلوبها = 1 أي: طاب × طتاب =1، حاب× قتاب = 1، حتاب× قاب =1 |
 | قيم النسب الستة موجبة في الربع الأول لأي زاوية هـ |
| حاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الثاني والباقية سالبة | |
| طاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الثالث والباقية سالبة | |
| حتاهـ ، مقلوبها موجبة في الربع الرابع والباقية سالبة | |
حا–هـ = – حاهـ ، حتا–هـ = حتاهـ ، طا–هـ = – طاهـ | قتا–هـ = – قتاهـ ، قا–هـ = قاهـ ، طتا–هـ = – طتاهـ |
| حا(90ه – هـ) = حتاهـ ، حتا(90ه – هـ) = حاهـ | طا(90ه – هـ) = طتاهـ ، طتا(90ه – هـ) = طاهـ |
| قا(90ه – هـ) = قتاهـ ، قتا(90ه – هـ) = قاهـ | حا(90ه + هـ) = حتاهـ ، حتا(90ه + هـ) = – حاهـ |
| طا(90ه + هـ) = – طتاهـ ، طتا(90ه + هـ) = – طاهـ | قا(90ه + هـ) = – قتاهـ ، قتا(90ه + هـ) = قاهـ |
| حا(180ه – هـ) = حاهـ ، حتا(180ه – هـ) = – حتاهـ | طا(180ه – هـ)= – طاهـ ، طتا(180ه – هـ)= – طتاهـ |
| قا(180ه – هـ) = – قاهـ ، قتا(180ه – هـ) = قتاهـ | حا(180ه + هـ)= – حاهـ ، حتا(180ه + هـ)= – حتاهـ |
| طا(180ه + هـ) = طاهـ ، طتا(180ه + هـ) = طتاهـ | قا(180ه + هـ) = – قاهـ ، قتا(180ه + هـ) = – قتاهـ |
بنفس الطريقة للزاويتين (270ه ± هـ) وأن قيم نسب 360 ه هي نفس قيم نسب 0ه ومن حيث في أي مثلث: أ + ب + حـ = 180ه أي أ + ب = 180ه – حـ فإن حتا(أ+ب)= حتا(180ه– حـ)= – حتاحـ ويمكن استنتاج الباقي وعلى العموم تكتب إشارة النسبة حسب الربع الواقعة فيه الزاوية بعد وضعها على الصورة (م×90± هـ)، م موجبة، هـ حادة ونكتب نفس النسبة (حا) إذا كانت م عدداً زوجياً والنسبة المتممة إذا كانت م عدداً فردياً (حتا). | |
| الزوايا الخاصة: 0ه ، 30ه ، 45ه ، 60ه ، 90ه ، 180ه ، 270ه ، 360ه ، دائرة الوحدة وأي نقطة عليها (س، ص) | |
 | |
| حا2هـ + حتا2هـ = 1 | ا + طا2هـ = قا2هـ |
| 1 + طتا2هـ = قتا2هـ | حا(أ ± ب) = حاأ حتاب ± حتاأ حاب |
| حتا(أ + ب) = حتاأ حتاب – حاأ حاب | حتا(أ – ب) = حتاأ حتاب + حاأ حاب |
طاأ + طاب طا( أ + ب) = ـــــــــــــــــــــــ 1 – طاأ طاب | طاأ – طاب طا( أ – ب) = ـــــــــــــــــــــــ 1 + طاأ طاب |
| حتا(ب – حـ) × حتا(ب + حـ) = حتا2ب + حتا2حـ – 1 | حا(ب + حـ) × حا(ب – حـ) = حا2ب – حا2حـ |
| حا2حـ = 2حاحـ حتاحـ | حتا2حـ= حتا2حـ – حا2حـ= 2حتا2حـ – 1=1–2حا2حـ |
| 2طاحـ طا2حـ = ــــــــــــــــــــ 1 – طا2حـ | طاحـ – طا3حـ طا3حـ = ـــــــــــــــــــــــــــــ 1 –3طا2حـ |
| حتا3حـ = 4حتا3حـ – 3حتاحـ | حا3حـ = 3حاحـ – 4حا3حـ |
2ل حـ حاحـ = ــــــــــــــــ حيث ل = طا ــــــ من ضعف الزاوية 1+ ل2 2 | 1 – ل2 حـ حتاحـ = ــــــــــــــــ حيث ل = طا ــــــ من ضعف الزاوية 1+ ل2 2 |
| 2حتا2حـ = 1 + حتا2حـ (هامة للتكامل) | 2حا2حـ = 1 – حتا2حـ (هامة للتكامل) |
| ب + د ب – د حاب + حا د = 2حا ـــــــــــــــ حتا ـــــــــــــ 2 2 | ب + د ب – د حاب – حا د = 2حتاـــــــــــــــ حا ـــــــــــــ 2 2 |
| ب + د ب – د حتاب + حتا د = 2حتا ــــــــــــــ حتا ـــــــــــــ 2 2 | ب + د ب – د حتاب – حتا د = –2حا ـــــــــــــ حا ـــــــــــــ 2 2 |
| 2حاب حتا د = حا( ب + د) + حا( ب – د) | 2حتاب حا د = حا( ب + د) – حا( ب – د) |
| 2حتاب حتا د = حتا( ب + د) + حتا( ب – د) | 2حاب حا د = حتا( ب – د) – حتا( ب + د) |
| أ¯ ب¯ حـ¯ في ∆ أ ب حـ ــــــــــ = ــــــــــ = ــــــــــ = 2 نق حا أ حاب حاحـ نق نصف قطر الدائرة الخارجة للمثلث (المارة برؤوسه) | أ¯ = ب¯حتاحـ + حـ¯حتاب ب¯ = حـ¯حتاأ + أ¯حتاحـ حـ¯ = أ¯حتاب + ب¯حتاأ |
| ( أ¯ )2= ( ب¯ )2 + ( حـ¯ )2 – 2 ب¯حـ¯ حتاأ | ( ب¯ )2+ (حـ¯ )2– ( أ¯ )2 حتاأ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 2 ب¯حـ¯ |
| ( ب¯ )2= ( حـ¯ )2 + ( أ¯ )2 – 2 حـ¯ أ¯ حتاب | (حـ¯ )2+ ( أ¯ )2– ( ب¯ )2 حتاب= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 2 حـ¯ أ¯ |
| ( حـ¯ )2= ( أ¯ )2 + ( ب¯ )2 – 2 أ¯ ب¯ حتاحـ | ( أ¯ )2+ (ب¯ )2– ( حـ¯ )2 حتاحـ= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 2 أ¯ ب¯ |
| المثلث أ ب حـ ، بوضع أ¯ + ب¯ + حـ¯ = 2ح، نق نصف قطر الدائرة الداخلة، ∆ رمز لمساحة المثلث أ ب حـ | |
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ∆ = /\ ح( ح – أ¯ )(ح – ب¯ )(ح – حـ¯ ) | 2 ∆ د 2 ∆ د 2 ∆ حاأ = ـــــــــــــــ، حاب = ـــــــــــــــ ، حاحـ = ـــــــــــــــ ب¯ حـ¯ حـ¯ أ¯ أ¯ ب¯ |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 | ب – حـ ب¯ – حـ¯ أ طا ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ طتا ــــ 2 ب¯ + حـ¯ 2 |
حـ – أ حـ¯ – أ¯ ب طا ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ طتا ــــ 2 حـ¯ + أ¯ 2 | أ – ب أ¯ – ب¯ حـ طا ـــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ طتا ـــــ 2 أ¯ + ب¯ 2 |
| ∆ نق = ـــــــ حيث نق نصف قطر الدائرة الداخلة للمثلث ح | ∆ أ ب نق = ـــــــ = (ح – أ¯ ) طا ـــ = ( ح – ب¯ ) طاـــــ = ... ح 2 2 |
| أ نق = (ح – أ¯ ) طا ـــ ، نق نصف قطر الدائرة الداخلة 2 | ∆ أ نق = ـــــــــــــــ = ح طا ــــ ، نق للدائرة التي تمس أ¯ ح – أ¯ 2 وامتدادي الضلعين الآخرين ، بالمثل للباقي |
| ∆ ب نق = ـــــــــــــــ = ح طا ـــ ، نق للدائرة التي تمس ب¯ ح – ب¯ 2 وامتدادي الضلعين الآخرين | ∆ حـ نق = ـــــــــــــــ = ح طا ـــــ ، نق للدائرة التي تمس حـ¯ ح – حـ¯ 2 وامتدادي الضلعين الآخرين |
حل المثلث في حالاته الأربع
الحالة الأولى: إذا علمت أضلاع المثلث الثلاث
نستخدم قانون ظل نصف الزاوية كأفضل القوانين وأدقها ويفضل التقريب لنصف دقيقة وفي حالة استخدام قانون جيب التمام للأعداد البسيطة تحدد الإشارة في الناتج كون الزاوية حادة(+) أو منفرجة(–) ومع كون الضلع الأكبر يقابل الزاوية الكبرى والضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى. |
الحالة الثانية: إذا علم من المثلث زاويتان وضلع
نوجد الزاوية الثالثة من أ + ب + حـ = 180ه ونوجد الضلعين الآخرين من قانون الجيب | أ¯ ب¯ حـ¯ ــــــــــ = ــــــــــ = ــــــــــ حا أ حاب حاحـ |
الحالة الثالثة: إذا علم من المثلث ضلعان والزاوية المحصورة بينهما
ب – حـ ليكن الضلعان المعلومان هما ب¯ ، حـ¯ ، ب¯> حـ¯ ونوجد ــــــــــــــــ من القانون 2 | ب – حـ ب¯ – حـ¯ أ طا ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ طتا ــــ 2 ب¯ + حـ¯ 2 |
الحالة الرابعة: إذا علم من المثلث ضلعان والزاوية المقابلة لأحدهما
أولا: ليكن المثلث أ ب حـ عُلم منه ب¯ ، حـ¯ ، < حـ حادة لرسم المثلث أ ب حـ نرسم <(س حـ ص) = < حـ ونحدد ب¯ على الضلع حـ ص مثلاً ونركز
في نقطة أ وبفتحة = حـ¯ نرسم قوس فيأخذ أحد الحالات المبينة في الجدول التالي:
القوس لا يقابل س حـ فيستحيل رسم المثلث أ ب حـ لكون حـ¯< طول العمود النازل من أ على س حـ أو ب¯حاحـ > حـ¯ أي حاب > 1 لاحظ: من قاعدة الجيب حاب = ب¯حاحـ : حـ¯ |  |
القوس يمس س حـ فيمكن رسم المثلث وهو قائم الزاوية لكون حـ¯ = طول العمود النازل من أ على س حـ أو ب¯حاحـ = حـ¯ أي حاب = 1 أي < ب = 90ه (يوجد حل وحيد) |  |
القوس يقطع س حـ في ب1 ، ب2 في جهة واحدة من حـ فيرسم مثلثين مستوفيان للشروط أ ب1 حـ ، أ ب2 حـ حيث تكون ب1 حادة ، ب2 منفرجة ، ويكون حـ¯> ب¯حاحـ (طول العمود النازل من أ على س حـ) ويجب أن تكون حـ¯< ب¯ (يوجد حلان) وتعرف بالحالة المبهمة |  |
القوس يقطع س حـ في نقطتين أحداهما حـ فيرسم المثلث أ ب حـ المتساوي الساقين (يوجد حل وحيد) |  |
القوس يقطع س حـ في نقطتين في جهتي حـ فيرسم المثلث أ ب1 حـ مستوفياً الشروط في حين المثلث أ ب2 حـ لكون الزاوية أ حـ ب2 منفرجة مخالفة للشرط بأن حـ زاوية حادة (يوجد حل وحيد) |  |
إذا كانت < حـ منفرجة فإن القوس يقطع س حـ في نقطتين في جهتي حـ فيرسم المثلث أ ب1 حـ مستوفياً الشروط في حين المثلث أ ب2 حـ لكون الزاوية أ حـ ب2 حادة مخالفة للشرط بأن حـ زاوية حادة (يوجد حل وحيد) |  |
